Physicspedia: April 2012

สำหรับ proper time τ คงที่ ในสนามโน้มถ่วงเราคำนวนได้จาก
$\mathrm{d}\tau^2=\sigma_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu$
เมื่อ σ_μν คือ Schwarzschild metric
$\sigma_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 1-\frac{2GM}{r} & 0\\ 0 & -(1-\frac{2GM}{r})^{-1} \end{pmatrix}$

ดังนั้นเราจะคำนวนระยะ proper time ได้ว่า
$\textup{T}=\int \mathrm{d}\tau=\int \sqrt{\sigma_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}\mathrm{d}t=\int \sqrt{(1-\frac{2GM}{r})(\frac{\partial t}{\partial t})^2-(\frac{r}{r-2GM})(\frac{\partial r}{\partial t})^2}\; \mathrm{d}t$

แต่เนื่องจากเรากำหนดให้รัสมีจากแหล่งกำเนิดสนามมีขนาดคงที่เทียบกับเวลา จะได้ว่า
$\frac{\partial t}{\partial t}=1\; \;, \; \frac{\partial r}{\partial t}=0$

นั่นคือ
$T=\int \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\; \; \mathrm{d}t=t\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}$

สำหรับผู้สังเกตภายนอกสนามโน้มถ่วง(R>>r)จะได้ว่า T=t_observer นั่นคือ การยืดเวลาจะเป็นไปตามสมการ
$t_{obs}=t\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}$

จบการพิสูจน์

Gravitational time dilation proof