Physicspedia: July 2012

พิจารณา Relativistic Red-shift แบบปรกติ

กำหนดให้คาบของแสงที่วัดโดยแหลงกำเนิดมีค่าเป็น T'_s
ขณะที่คาบของแสงที่วัดโดยผู้สังเกตแบบ Red-shift จะวัดได้ T_o
ซึ่งทั้งสองค่านี้มีความสัมพันธ์คือ
$T_o=(1+\beta)T'_s$
หรือเขียนใหม่ได้ว่า
$(1-\beta)\gamma^2T_o=T'_s$
หากเราย้ายคาบทั้งสองมาอยู่ในกรอบอ้างอิงเดียวกัน โดยใช้ความสัมพันธ์ T'_s = γT_sเราจะได้ความสัมพันธ์ใหม่คือ
$(1-\beta)\gamma T_o=T_s$
หรือ
$\lambda_{observer}=\gamma(1-\beta)\lambda_{source}$
ในที่นี้ พจน์ (1-β) เป็นพจน์ทั่วไปของการเกิด Red-shift ขณะที่ γ เป็นพจน์ที่เกิดจาก time-dilation ในทำนองเดียวกันกับ Gravitational Red-shift เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ว่า(ดูหัวข้อ Gravitational time dilation)
$\lambda_{observer}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{R}}}}\cdot \gamma(1-\beta)\lambda_{source}$
ซึ่งหากเรากำหนดให้รัสมีระหว่างผู้สังเกตกับแหลงกำเนิดรังสี(R) มีค่าคงที่ เราจะได้พจน์ γ(1-β) กลายเป็น 1 และได้สมการใหม่ว่า
$\lambda_{observer}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{R}}}\cdot \lambda_{source}$
สำหรับค่า Red-shift factor สามารถคำนวณได้จากสมการ
$z=\frac{\lambda_o-\lambda_s}{\lambda_s}$
นั่นคือ
$z=\frac{\lambda_o-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{R}}}\lambda_o}{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{R}}}\lambda_o}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{R}}}-1$

***เมื่อกำหนดให้ความเร็วแสง = c =1

Gravitational Red-shift Proof